Il rapporto incrementale e' un concetto fondamentale per studiare le derivate.
Esso e' indicato come Δy/Δx ed e' la variazione di ordinata su variazione di ascissa.
Si applica alle funzioni.
E' definito in questo modo:
Δy/Δx = (f(x+h)-f(x))/h
Ora mi spiego meglio:
Data una funzione f(x) ne troviamo due punti non coincidenti A(x0;y0) e B(x1;y1).
Il rapporto incrementale non e' altro che
(y1-y0)/(x1-x0)
con
x1-x0 = h
Quindi x0+h = x1, per questo nella formula del rapporto incrementale y1-y0 diventa f(x+h)-f(x) in quanto y1 = f(x+h).
Proviamo con un esempio:
Prendiamo una funzione y=f(x)=2x che nel piano cartesiano descrive una retta e consideriamone il punto O(0;0). Calcoliamone ora il rapporto incrementale sostituendo alle x la nostra funzione:
Δy/Δx = (f(x+h)-f(x))/h = (2(xO+h)-2(xO))/h = (2*(0+h)-2*0)/h = 2h/h = 2
Ok, abbiamo il nostro rapporto incrementale, come facciamo a sapere se e' giusto?
Consideriamo un valore casuale di h! Per esempio se h = 5 la nostra ascissa diventa xA = xO+h = 0+5 = 5.
Con il valore di ascissa 5 sostituiamo nella funzione per ottenere l'ordinata y=2x = y=2*xA = y=2*5 = 10.
A(5;10)
Ora, facendo Δy/Δx = (y1-y0)/(x1-x0) otteniamo (10-0)/(5-0)=10/5= 2.
Possiamo anche sostituire h=5 nel rapporto 2h/h prima ottenuto ma e' palese che, semplificando, rimarra' il 2.
Proviamo ora con un altro esempio chiarificatore.
Prendiamo una funzione y=f(x)=x^2-2x-1 che nel piano cartesiano descrive una parabola. Calcoliamone ora il rapporto incrementale considerando un punto iniziale P(x0;y0) e un aumento di ascissa ?x=h (qui i calcoli si fanno piu' complicati):
Δy/Δx = (f(x+h)-f(x))/h = (((x0+h)^2-2(x0+h)-1)-(x0^2-2x0-1))/h = (x0^2+h^2+2x0h-2x0-2h-1-x0^2+2x0+1)/h che semplificando = (h^2+2x0h-2h)/h = h+2x0-2.
Ottenuto il rapporto incrementale poniamo x0=1. Sostituendo:
h+2x0-2 = h+2*1-2 = h
Dato che x0=1 possiamo calcolare y0 sostituendo nell'equazione della parabola y=x^2-2x-1 ed otteniamo A(1;-2).
Consideriamo inoltre un h (cioe' un aumento di ascissa Δx) uguale a 3. Il rapporto incrementale, essendo =h diventa =3.
Calcoliamo l'altro punto B(1+3;y1) con y1 (ottenuto sempre sostituendo nell'equazione della parabola) uguale a 7. B(4;7).
Δy/Δx = (7-(-2))/(4-1) = 9/3 = 3.
Come vedete funziona tutto. Se ora consideriamo x0=2 il rapporto incrementale calcolato mediante la formula e' uguale ad h+2. E' cambiato! Ma niente paura!
Trovato infatti il punto A'(2;-1) sostituendo x0=2 nell'equazione della parabola, provate a calcolare il rapporto incrementale tra A'(2;-1) e B'(6;23) che e' sempre un punto appartenente alla parabola.
h sara' uguale a 4 (xA'-xB' = 4) e sostituendo Δy/Δx = h+2 = 4+2 = 6.
Per verificare facciamo Δy/Δx = (yB'-yA')/(xB'-xA') = (23-(-1))/(6-2) = 24/4 = 6.
Il rapporto incrementale varia dunque da punto a punto in una funzione. Il primo caso considerato prevede un Δy/Δx in quanto la funzione considerata era una retta. Infatti il rapporto incrementale altro non e' che il coefficente angolare della retta passante per i due punti considerati!
Proviamolo per i punti A' e B': troviamo la retta passante per i due.
rA'B' = (y-yA')/(yB'-yA')=(x-xA')/(xB'+xA') = (y+1)/(23+1)/(x-2)/(6-2) che semplificando = y=6x-13. Il coefficente angolare m = 6.
Se ripetiamo la prova con i punti A(1;-2) e B(4;7) troveremo che m = 3.
Ecco, siamo giunti alla fine della lezione sul rapporto incrementale. Buono studio!
Capito il rapporto incrementale studiamo ora le derivate.
Cosa e' la derivata?
Data una funzione y=f(x) la derivata, indicata con y' o f'(x), rappresenta il coefficente angolare della retta tangente alla funzione nel punto P(x;f(x)).
Non tutte le funzioni sono derivabili!
Ricordate il rapporto incrementale? Bene, la derivata di una funzione f(x) e' il limite di quel rapporto incrementale con h (cioe' Δx) tendente a 0. Quindi:
f'(x) = lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]
S\EC ok, ma il limite come lo gestisco? Ora vediamo...
Facciamo un esempio: consideriamo la funzione f(x)=x^2-2x-1 e cerchiamo la derivata nel punto x=2. Calcoliamo:
f'(2) = lim(h->0)[((x+h)^2-2(x+h)-1-x^2+2x+1)/h] =
= lim(h->0)[((2+h)^2-2(2+h)-1-2^2+2*2+1)/h] =
= lim(h->0)[(4+h^2+4h-4-2h-1-4+4+1)/h] =
= lim(h->0)[(/+h^2+4h-/-2h-/-/+/+/)/h] =
= lim(h->0)[(h^2+2h)/h] =
= lim(h->0)[(h+2)] =
Bene, ora che abbiamo semplificato per h e tolto questo termine dal denominatore possiamo considerare h=0. Il limite in pratica rende h=0 quando pero' non e' al denominatore (altrimenti verrebbe un numero fratto zero, il che e' impossibile).
= lim(h->0)[(0+2)] = [(0+2)] = 2
La derivata e' quindi uguale a 2 e questo numero rappresenta il coefficente angolare m della retta tangente alla curva nel punto x=2 e y=2^2-2*2-1=-1. Troviamo la retta tangente allora:
y-y0=m(x-x0) = y+1=2(x-2) = y+1=2x-4 = y=2x-5
Ecco fatto, la retta y=2x-5 e' la tangente a f(x) in P(2;-1).
Possiamo anche tenere la derivata in funzione di x: consideriamo la funzione f(x)=-x^2+4x e calcoliamo la sua derivata in x=c:
f'(c) = lim(h->0)[(-(c+h)^2+4(c+h)+c^2-4c)/h] =
= lim(h->0)[(-c^2-h^2-2ch+4c+4h+c^2-4c)/h] =
= lim(h->0)[(-/-h^2-2ch+/+4h+/-/)/h] =
= lim(h->0)[(-h^2-2ch+4h)/h] = lim(h->0)[(-h-2c+4)] = [(-0-2c+4)] = -2c+4
Ecco, questo e' il coefficente angolare della tangente a f(x) a seconda dell'ascissa (x=c) che consideriamo.
Questo e' tutto per questa prima lezione dulle derivate: Buono studio!
L'integrale e' ANCHE (ma non solo!) l'operatore inverso della derivata e pu\F2 essere usato per calcolare le aree sottese ad una funzione di equazione nota.
Per calcolare l'integrale di una funzione dovete prima di tutto aver imparato bene a derivare, dopodich\E9 non bisogna far altro che attuare l'operazione al contrario, ad esempio:
Se y = x^2-lnx ne consegue che y' = 2x-1/x
Qual e' l'integrale di y' = 2x-1/x ? La funzione y!
Facciamo un altro esempio meno banale:
Integriamo y = x^3 - 2lnx/x
x^3 \E8 la derivata di (x/3)^4 e -2lnx/x \E8 la derivata di -(lnx)^2 dunque
Integrale_di_y = (x/3)^4 - (lnx)^2
Per saper calcolare l'integrale (come per le derivate) e' necessario sapere le proprieta' e i trucchi che non ho voglia di spiegare. Ciao!
Ciao carissimi, da quanto tempo!
L'universita' e' bella, faccio ingegneria aerospaziale a Milano, se volete un po' di consigli non esitate a contattarmi!
Ovviamente non mi mettero' qua a farvi tutorial sulle approssimazioni di Taylor, sulle trasformate di Laplace e Fourier o sulla ricerca di massimi e minimi di funzioni a due variabili (anche perche' non mi ricordo piu' come si facciano e comunque potete trovare qualche video su
questi argomenti sul mio canale YouTube)
In ogni caso se avete una mezza idea di fare ingegneria date ascolto al prof che se avrete un esame di info da sostenere, fidatevi, sara' un esame da preparare in meno se fate bene informatica alle superiori
Fate i bravi!
CIAOOOOOOOOOOOOOOOOOOO!!!!